Stabilność alternatywnych równań funkcyjnych

Abstract

Teoria stabilności równań funkcyjnych została zapoczątkowana w latach czterdziestych przez S. Ulama i D. Hyersa. Z drugiej strony znane są badania nad tzw. warunkowymi równaniami funkcyjnymi. W pracy doktorskiej łączymy oba wspomniane nurty zajmując się stabilnością alternatywnych (warunkowych) równań funkcyjnych z warunkiem zależnym od funkcji niewiadomej. Stabilność równań należących do takiej klasy nie była dotąd badana. Głównym celem pracy jest sformułowanie problemu stabilności alternatywnych równań funkcyjnych tego typu, a następnie rozwiązanie tak postawionego problemu na przykładzie kilku najbardziej reprezentatywnych dla tej klasy równań. W pracy proponujemy trzy definicje stabilności, a następnie dowodzimy, że równania: - Mikusińskiego f(x + y)≠0 => f(x + y) = f(x) + f(y),

- Dhombresa f(x) + f(y) ≠ 0 => f(x + y) = f(x)+ f(y),

- równanie postaci f(x + y) + f(x) + f(y) ≠ 0 => f(x+y) = f(x) + f(y)

są stabilne w sensie każdej z zaproponowanych definicji. Ponadto omawiamy problem jednoznaczności funkcji aproksymującej oraz (w kilku przypadkach) optymalność stałej szacującej.

Following S. Ulam and D. Hyers many authors have studied stability of different functional equations. On the other hand there are well known investigations connected with the so called conditional equations. In the paper we join this two topics dealing with the stability of alternative (conditional) functional equations, where the condition is dependent on the unknown function. The stability of equations from this class has not been investigated before. The main aim of this work is to formulate the stability problem for alternative functional equations of this type and to solve this problem for three (most important) equations from the considered class. In the paper we propose three different definitions of the stability and next we prove that equations of:

- Mikusinski f(x + y) ≠ 0 => f(x + y) = f(x) + f(y),

- Dhombres f(x) + f(y) ≠ 0 => f(x + y) = f(x)+ f(y),

- equation of the form f(x + y) + f(x) + f(y) ≠ 0 => f(x+y) = f(x) + f(y)

are stable in the sense of each definition. Moreover the problem of the uniqueness of the approximating function is discussed.