Foundations of geometry for secondary schools and prospective teachers

Abstract

This thesis is dedicated to the basics of plane synthetic geometry and concerns congruent triangles, parallel lines, and similar figures. It originates from two basic observations. First, while synthetic geometry is a vital part of high school curricula, academic courses for prospective teachers provide mere information on the synthetic approach, enumerating axioms, preferably of the Hilbert system. Second, school textbooks misrepresent the foundations of geometry and hardly employ the benefits of IT technologies. With this thesis, we aim to revise the curriculum for high schools and propose a course on synthetic geometry for prospective mathematics teachers. Concerning the theory of similar figures, we go beyond the standard axiomatic approach and bring in a primer of automatic theorem proving. In chapter 1, we spell out a course on synthetic geometry for prospective teachers based on Hilbert’s axioms in a modernized form developed by Robin Hartshorne. It contains results about congruent triangles, parallel lines, concurrent lines in a triangle, and Thales’ theorem for commensurable line segments. It includes an extensive overview of Book I of Euclid’s Elements, focused on basic concepts, topics related to the Pasch axiom, criteria for congruent triangles, algebra of line segments and angles, and the Fifth Postulate. We also introduce Borsuk and Szmielew’s and Tarski’s axioms of Euclidean geometry and compare systems of Euclid, Hilbert, Borsuk and Szmielew, and Tarski from the axiomatic perspective. Discussing the parallel postulate, we present a model of a non-Euclidean plane in which angles in a triangle add up to π; it is a subspace of the Cartesian plane over the non-Archimedean field of hyperreal numbers R^*. Due to similar triangles, we extend the course with the automatic theorem proving. These topics relate to Thales’ theorem; we detail them through Chapters 3 and 4. Our recommendations for the secondary school curriculum include using the application euclidea, the rule that criteria for congruent triangles precede the parallel postulate, and using graphic patterns related to Euclid's proposition VI.1 and the co-side theorem. Thales' theorem is a turning point between Greek and modern mathematics. It embodies Euclid's method of proportion that modern geometry considers inconsistent. Therefore, the 20th-century systems of geometry employ the arithmetic of line segments or the continuity axiom to prove Thales' theorem. In Chapter 2, we study these proofs, showing they are quite involved and hardly match school textbooks. In this thesis, we present an alternative solution: apply the area method that recovers Euclid's proportion with its simple arguments and adopts the highest standards of rigor. In Chapter 3, we present the area method in an axiomatic fashion and define a model of the theory; in Chapter 4, we include proofs of propositions from Book VI using the GCLC automated theorem-proving program. Chapter 5 summarizes the lessons learned from previous chapters on education.

Rozprawa jest poświęcona podstawom geometrii syntetycznej na płaszczyźnie i dotyczy przystawania trójkątów, prostych równoległych oraz figur podobnych. Wynika ona z dwóch zasadniczych obserwacji. Po pierwsze, podczas gdy geometria syntetyczna jest istotną częścią programów nauczania w szkołach średnich, akademickie kursy dla nauczycieli przedstawiają jedynie krótką informację o podejściu syntetycznym, wymieniając aksjomaty, zazwyczaj te z systemu Hilberta. Po drugie, podręczniki szkolne przeinaczają podstawy geometrii i rzadko wykorzystują osiągnięcia nowych technologii. Praca przedstawia propozycje zmian programu nauczania w szkołach średnich i zawiera kurs geometrii syntetycznej dla przyszłych nauczycieli matematyki. W związku z teorią figur podobnych praca wykracza poza standardowe podejście aksjomatyczne i wprowadza do kursu automatyczne dowodzenie twierdzeń. Rozdział pierwszy zawiera kurs geometrii syntetycznej dla przyszłych nauczycieli oparty na aksjomatach Hilberta, unowocześnionych przez Robina Hartshorne’a. Kurs obejmuje twierdzenia o trójkątach przystających, liniach równoległych, przecięciach linii w trójkącie, oraz twierdzenie Talesa w wersji dla odcinków współmiernych. Zawiera ponadto, rozbudowany przegląd Księgi I Elementów Euklidesa skoncentrowany na pojęciach pierwotnych, pojęciach i twierdzeniach związanych z aksjomatem Pascha, kryteriach przystawania trójkątów, algebrze odcinków i kątów oraz na Piątym Postulacie. Kurs przedstawia również aksjomaty geometrii euklidesowej Borsuka, Szmielew oraz Tarskiego i porównuje systemy Euklidesa, Hilberta, Borsuka i Szmielew oraz Tarskiego z perspektywy aksjomatycznej. W związku z aksjomatem równoległości, rozprawa przedstawia model płaszczyzny nieeuklidesowej, w którym kąty dowolnego trójkąta sumują się do π ; jest to podprzestrzeń płaszczyzny kartezjańskiej nad niearchimedesowym ciałem liczb hiperrzeczywistych R^*. W związku z podobieństwem trójkątów kurs zawiera wprowadzenie do automatycznego dowodzenie twierdzeń. Kwestie te odnoszą się do twierdzenia Talesa i są szczegółowo opisane w rozdziale trzecim i czwartym. Rekomendacje do programu nauczania w szkole średniej obejmują wykorzystanie aplikacji euclidea, zasadę, że kryteria przystawania trójkątów poprzedzają aksjomat równoległości, oraz wykorzystanie diagramów związanych z twierdzeniem Euklidesa VI.1 i twierdzeniem co-side. Twierdzenie Talesa stanowi cezurę między matematyką grecką i współczesną. Jest ono wzorowym przykładem użycia przez Euklidesa proporcji, współczesna geometria zaś przyjmuje, że teoria to jest niespójna. Dlatego XX-wieczne systemy dowodząc twierdzenia Talesa wykorzystują arytmetykę odcinków lub aksjomat ciągłości. W rozdziale 2 analizujemy te dowody, pokazując, że są one na tyle skomplikowane, że nie sposób wprowadzić je do podręczników szkolnych. W pracy przedstawiamy alternatywne podejście: stosujemy metodę pola, która pozwala odzyskać Euklidesa metodę proporcji z prostotę jej dowodów, a jednocześnie realizuje najwyższe standardy ścisłości. Odpowiednio, w rozdziale trzecim przedstawiamy aksjomaty metody pola i podajemy dla niej model; a w rozdziale czwartym − automatyczne dowody twierdzeń z Księgi VI wygenerowane za pomocą programu GCLC. W rozdziale piątym zbieramy wnioski wyprowadzane w poprzednich rozdziałach.