Stabilność uogólnień równania Frécheta

Abstract

Rozprawa doktorska "Stabilność uogólnień równania Frécheta" poświęcona jest stabilności w sensie Ulama równania funkcyjnego wielu zmiennych, które jest uogólnieniem znanego równania funkcyjnego Frécheta. Temat stabilności równań funkcyjnych poruszył po raz pierwszy w 1940 roku S. M. Ulam. Mówimy, że równanie funkcyjne jest stabilne w sensie Ulama, jeżeli przy pewnych założeniach istnieje jedyne rozwiązanie dokładne tego równania, blisko zadanego rozwiązania przybliżonego. Natomiast równanie funkcyjne jest hiperstabilne, jeżeli przy pewnych założeniach rozwiązanie przybliżone tego równania jest jego rozwiązaniem dokładnym. Wyniki pracy zostały udowodnione m.in. w oparciu o twierdzenie o punkcie stałym, sformułowane dla przestrzeni funkcyjnych przy założeniu warunku Lipschitza. Za pomocą twierdzenia o punkcie stałym dla przestrzeni funkcyjnych, otrzymane zostało rozwiązanie dokładne F badanego równania, blisko zadanego rozwiązania przybliżonego f oraz została oszacowana odległość pomiędzy przybliżonym rozwiązaniem f równania a jego rozwiązaniem dokładnym F. Rozwiązaniem rozpatrywanego równania jest punkt stały odpowiednio zdefiniowanego operatora funkcyjnego. Zostały podane przykłady funkcji kontrolnej, realizujące to oszacowanie. Natomiast przy dodatkowych założeniach dotyczących infimum funkcji kontrolnej, otrzymana została hiperstabilność rozważanego równania. Oprócz tego pokazane zostało zastosowanie głównego wyniku do charakteryzacji przestrzeni unitarnych.

The thesis "Stability of some generalizations of the Frécheta equation" is on the Ulam stability of the functional equation (in many variables), which is a generalization of the known Fréchet functional equation. The topic of the stability of functional equations was first mentioned in 1940 by Stanisław Ulam. Currently, a functional equation is said to be stable in the Ulam sense if, under certain assumptions, there is an exact (often only one) solution to the equation, close (in some sense) to a given approximate solution. A functional equation is hyperstable if, under certain assumptions, the approximate solution to this equation is its exact solution. The results in this chapter have been obtained (inter alia) using a fixed point theorem for function spaces and assuming the Lipschitz. The exact solution F of this equation was obtained as a fixed point of an appropriately defined operator acting on a function space. Moreover, the distance between the given approximate solution and the determined exact solution was estimated. Examples of a control function for which the respective assumptions used in this situation are met are also given. lt has also been shown that with additional assumptions concerning such a control function, the considered equation becomes hyperstable. Some applications of these results in the characterization of inner product spaces are also shown.