Kink Dynamics in the sine-Gordon Model: Interaction with Inhomogeneities

Abstract

This doctoral dissertation focuses on a detailed study of the kink solutions of the modified sine- Gordon model. This involves a complex study of the effects of breaking translational invariance due to the presence of localized inhomogeneities and thermal noise. Generalizations to more spatial dimensions are also considered. The research begins with a modification of the sine-Gordon model with a position-dependent dispersion term, which is essential for understanding the dynamics of the invariant phase difference of the macroscopic wave functions that describe superconducting electrodes in Josephson junctions. These modifications of the sine-Gordon equation make it applicable to junctions with different curvatures. This study further compares simplified descriptions of the kink motion in the junction with an exact field model, highlighting the limitations of traditional collective coordinate approaches and proposing another, in some situations preferable, alternative. In the next part, the effect of thermal noise on kink propagation in heterogeneous systems, especially in curved long Josephson junctions, is also investigated. An analytical formula, based on the Fokker-Planck equation, was developed to estimate the probability of kink transmission through potential barriers as a function of the system temperature. The analytical approximation in this case turns out to be consistent with numerical simulations, especially at temperatures above 1K. In addition, the interaction of sine-Gordon kink with localized inhomogeneities was carefully analyzed. The study focuses on how the potential energy barrier implied by the inhomogeneity affects the motion and stability of the kink, especially at velocities close to critical. Effective lowdimensional models are used to simulate kink dynamics, providing an insight into the behavior of the system in both dissipative and non-dissipative environments. These models accurately reproduce the results of the original field model. This research culminates in an investigation of the effect of inhomogeneities on the motions of the kink front in 2+1 dimensions. An effective equation has been developed to represent the motion of the kink in various scenarios, including quasi-one-dimensional and purely twodimensional inhomogeneities. This represents a significant advance in our understanding of the spectral characteristics of kink and dynamic interactions with inhomogeneities. Analytical predictions and computational results in these scenarios consistently agree, confirming the validity of the proposed models.

Niniejsza rozprawa doktorska koncentruje się w szczególności na badaniu rozwiązań kinkowych w zmodyfikowanym modelu sinus-Gordona. Obejmuje ona kompleksową analizę efektów łamania niezmienniczości translacyjnej ze względu na obecność zlokalizowanych niejednorodności. W analizie tej uwzględniano także obecność szumu termicznego. Rozważania zostały również uogólnione na większą liczbę wymiarów przestrzennych. Badania te rozpoczynają się od uzyskania zmodyfikowanego modelu sinus-Gordona z zależnym od położenia członem dyspersyjnym, którego obecność jest niezbędna do zrozumienia dynamiki niezmienniczej różnicy faz makroskopowych funkcji falowych opisujących elektrody nadprzewodzące z złączach Josephsona. Te modyfikacje równania sinus-Gordona sprawiają, że ma ono zastosowanie do złącz o różnych krzywiznach. Praca ta porównuje uproszczone opisy ruchu kinku w złączu z dokładnym modelem polowym, zwracając uwagę na ograniczenia tradycyjnych podejść opartych o współrzędne kolektywne, a zarazem proponując inną, wykazującą lepsze przybliżenia w niektórych sytuacjach, alternatywę. W następnej części zbadano wpływ szumu termicznego na propagację kinku w układach niejednorodnych, w szczególności w zakrzywionych, długich złączach Josephsona. Opracowano wzór analityczny, oparty na równaniu Fokkera-Plancka, w celu oszacowania prawdopodobieństwa transmisji kinku przez barierę potencjału w funkcji temperatury układu. Przybliżenie analityczne w tym przypadku okazuje się być zgodne z symulacjami numerycznymi, szczególnie dla temperatur powyżej 1K. Ponadto dokładnie przeanalizowano interakcję kinku ze zlokalizowanymi niejednorodnościami. Badania te koncentrują się na wpływie bariery potencjału, wynikającej z niejednorodności, na ruch i stabilność kinku szczególnie dla prędkości bliskich wartościom krytycznym. Efektywne modele niskowymiarowe są wykorzystywane do symulacji dynamiki kinku, zapewniając wgląd w zachowanie systemu zarówno w środowiskach dyssypatywnych, jak i nierozpraszających. Modele te dokładnie odtwarzają wyniki oryginalnego modelu polowego. Zwieńczeniem prowadzonych badań było zbadanie wpływu niejednorodności na ruch frontu kinkowego w 2+1 wymiarach. Opracowano efektywne równanie reprezentujące ruch frontu kinkowego w różnych scenariuszach, w tym z quasi-jednowymiarowymi i czysto dwuwymiarowymi niejednorodnościami. Stanowi to znaczący postęp w naszym zrozumieniu charakterystyki widmowej kinku i dynamicznych interakcji z niejednorodnościami. Przewidywania analityczne i wyniki obliczeń numerycznych w tych scenariuszach zgadzają się, potwierdzając słuszność zaproponowanych modeli.