Fixed point theorems in ordered spaces

Abstract

This dissertation investigates the sufficient conditions for the existence of fixed points for monotone G- nonexpansive mappings and monotone G-nonexpansive multivalued mappings in metric spaces as well as modular spaces equipped with a digraph. In particular, it examines monotone mappings and monotone multivalued mappings in metric and modular ordered spaces. For these purposes, we approach fixed point theory in two directions. The first direction is related to the measure of noncompactness. Using the assumptions of Darbo and Sadovskii, we prove the existence of fixed points of monotone mappings and monotone multivalued mappings. We also present various applications of the achieved results to several models: integral equations of Hammerstein type, integral equations of Volterra type, first order initial value problems with discontinuities and functional integral inclusions. In the remaining direction, we consider geometric structures for metric spaces and modular spaces. Consequently, numerous properties have been established and used to show the existence of fixed points of monotone G-nonexpansive mappings and monotone G-nonexpansive multivalued mappings.

Niniejsza rozprawa bada warunki wystarczające na istnienie punktów stałych dla odwzorowań monotonicznie G-nieoddalających i wielowartościowych odwzorowań monotonicznie G-nieoddalających w przestrzeniach metrycznych oraz w przestrzeniach modularnych wyposażonych w strukturę digrafu. W szczególności bada odwzorowania monotoniczne i wielowartościowe odwzorowania monotoniczne w uporządkowanych przestrzeniach metrycznych i modularnych. W tym celu podchodzimy do teorii punktu stałego w dwóch kierunkach. Pierwszy kierunek związany jest z miarą niezwartości. Korzystając z założeń Darbo i Sadovskiego, dowodzimy istnienia punktów stałych odwzorowań monotonicznych i wielo-wartościowych odwzorowań monotonicznych. Przedstawiamy także różne zastosowania uzyskanych wyników do kilku modeli: równań całkowych typu Hammersteina, równań całkowych typu Volterry, problemów początkowych pierwszego rzędu z nieciągłościami oraz funkcyjnych inkluzji całkowych. W drugim kierunku rozważamy struktury geometryczne w przestrzeniach metrycznych i modularnych. W rezultacie powstało wiele własności, które zostały użyte, żeby pokazać istnienie punktów stałych odwzorowań monotonicznie G-nieoddalających oraz wielowartościowych odwzorowań monotonicznie G-nieoddalających.