Fregean fragments of Intuitionistic Propositional Calculus with mixed conguence type

Abstract

We are investigating classes of subreducts of Heyting algebras, which form congruence permutable Fregean (quasi-) varieties. We are interested in classes that contain algebras of a mixed type according to Tame Congruence Theory. Because we assume congruence permutability the only possible types are 2 and 3. In this work we focused on classes with terms that are at most of arity two and can be written in Heyting algebras without using join operation. Main result of the dissertation is that under this assumption there are exactly six such classes. The mixed type arises because algebras behave differently on the regular part (image of the double negation) and dense part (elements whose double negation is 1). We also present finite axiomatization of these classes. Dissertation is composed of four chapters. First one contains theoretical introduction. In the second one we analyze two simplest classes of subreducts with mixed type, part of this chapter is a joint work with my advisor, Irena Katarzyna Korwin-Słomczyńska. In the third chapter we work on the free Brouwerian semilattice over two generators and using combinatorial methods show that there are exactly six classes we are interested in. Final chapter addresses the remaining four classes.

W pracy rozważamy klasy podreduktów algebr Heytinga, które tworzą kongruencyjnie permutowalną (quasi-)rozmaitość fregowską. Spośród takich klas interesują nas te, które mają typ mieszany według Tame Congruence Theory. Ponieważ zakładamy kongruencyjną permutowalność jedyne możliwe typy to 2 i 3. Ograniczamy się przy tym do reduktów w których wszystkie symbole są arności co najwyżej dwa i dają się zapisać bez użycia alternatywy. Głównym wynikiem rozprawy jest wykazanie, że przy takich założeniach interesujących nas klas podreduktów jest dokładnie sześć. Typ mieszany jest możliwy z tego powodu, że odpowiednie algebry zachowują się inaczej na części regularnej (obrazie podwójnej negacji) i gęstej (elementach których podwójna negacja jest 1). Dodatkowo podajemy skończoną aksjomatykę dla każdej z tych klas. Rozprawa składa się z czterech rozdziałów. Rozdział pierwszy zawiera wstęp teoretyczny. Rozdział drugi poświęcony jest dwóm najbardziej naturalnym klasom podreduktów o mieszanym typie i zawiera między innymi wyniki wspólnej pracy z dr hab. Irena Katarzyną Korwin-Słomczyńską. W rozdziale trzecim używamy metod kombinatorycznych na reprezentacji wolnej półkraty Brouwera nad dwoma generatorami aby wykazać że interesujących nas klas jest dokładnie sześć. Czwarty rozdział zawiera badania nad pozostałymi czterema klasami.