Geometric properties of arrangements of low-degree curves

Abstract

This thesis investigates geometric properties of arrangements of low-degree plane algebraic curves in the complex projective plane. The primary focus is on configurations of lines, conics, and cubics, with particular emphasis on higher-order tangency points and algebraic properties related to logarithmic derivations and freeness. All necessary computations were carried out using the computer algebra system Singular. Chapter 2 is devoted to Fermat curves, in particular the Fermat curve Fn and the cubic F3. The exact coordinates of sextactic points and type 9 points are determined using the second Hessian and division polynomials. Furthermore, configurations of conics tangent to F3 at two such points with prescribed multiplicities are analyzed. Chapter 3 examines two quartic curves: the Fermat quartic and the Komiya-Kuribayashi quartic. Their maximal tangency points and the associated configurations of lines are described in detail. In addition, the sextactic points of both quartics and related arrangements of tangent conics are investigated. Chapter 4 establishes a complete classification of free arrangements of three smooth conics with ADE singularities, up to projective equivalence. For each case, explicit defining equations and the coordinates of all singular points are determined.

Rozprawa poświęcona jest badaniu geometrycznych własności układów krzywych algebraicznych niskich stopni, w zespolonej płaszczyźnie rzutowej. Głównym przedmiotem analizy są konfiguracje prostych, stożkowych oraz krzywych trzeciego stopnia, ze szczególnym uwzględnieniem punktów o wyższej krotności styczności oraz algebraicznych własności związanych z logarytmicznymi derywacjami oraz wolnością. Wszystkie niezbędne obliczenia zostały przeprowadzone przy użyciu systeu. Rozdział 2 poświęcony jest krzywym Fermata, a w szczególności kubice Fermata F3. Na kubice Fermata wyznaczone zostały dokładne współrzędne punktów sekstatycznych oraz punktów typu 9. Ponadto zbadano konfiguracje stożkowych stycznych do F3 w wyznaczonych punktach z zadanymi krotnościami. W rozdziale 3 badane są dwie krzywe czwartego stopnia: kwartyka Fermata oraz kwartyka Komiya-Kuribayashiego. Szczegółowo opisano punkty i proste maksymalnej styczności dla obu kwartyk oraz powiązane z nimi konfiguracje prostych. Dodatkowo wyznaczono punkty sekstatyczne obu krzywych oraz zbadano powiązane z nimi układy stożkowych. Rozdział 4 zawiera pełną klasyfikację układów wolnych trzech gładkich stożkowych z osobliwościami typu ADE, z dokładnością do rzutowej równoważności. Dla każdego układu wyznaczono jawne równania definiujące stożkowe oraz współrzędne punktów osobliwych.