Wielowartościowe rodziny sinusowe

Abstract

W pracy zawarte są wyniki dotyczące wielowartościowych rodzin sinusowych, tj. rodzin funkcji wielowartościowych {Et: t≥O} indeksowanych rzeczywistym nieujemnym parametrem t spełniających równanie funkcyjne

Et+S(x) = Et-S(x) + 2Ft(Es(x)),

dla x należącego do K i 0≤s<t, gdzie K jest stożkiem wypukłym w przestrzeni Banacha, a {Ft: t≥0} jest daną rodziną funkcji wielowartościowych.

Praca zawiera pięć rozdziałów. W rozdziale pierwszym podane są niezbędne definicje oraz znane rezultaty opublikowane w pracach K. Nikodema, A. Smajdora i M. Piszczek.

Podstawowe własności wielowartościowych rodzin sinusowych oraz ich przykłady zawarte są w rozdziale drugim. Dowiedziona jest ciągłość takiej rodziny w dwóch przypadkach: gdy wartości jej elementów zawierają zero oraz gdy rodzina jest regularna. Pokazane jest również, że rodzina, z którą skojarzona jest rodzina sinusowa, musi być rodziną kosinusową, a przy pewnym dodatkowym założeniu jest też ciągła.

Jednym z najważniejszych wyników w pracy jest twierdzenie o reprezentacji całkowej rodzin sinusowych zawarte w rozdziale trzecim. Wykazane jest również, że rodzina całek Riemanna z funkcji wielowartościowych będących elementami rodziny kosinusowej, jest rodziną sinusową.

W rozdziale czwartym badany jest pewien problem różniczkowy drugiego rzędu dla funkcji wielowartościowych. Następnie wykazane jest, że rodziny sinusowa i kosinusową są jego rozwiązaniem w dwóch szczególnych przypadkach.

Ostatnia część pracy zawiera warunek, przy którym funkcje dane pewnym szeregiem tworzą regularną rodzinę kosinusową oraz dowód faktu, że przy pewnych założeniach regularna rodzina kosinusowa zawiera funkcje dane przez ten szereg. Rozdział ten kończy przedstawienie funkcji wielowartościowych rodziny sinusowej w postaci szeregów.

Thesis contains results concerning set-valued sine families, i.e. families of set-valued functions {Et: t≥0} with real nonnegative index t satisfying the functional equation

Et+S(x) = Et-S(x) + 2Ft(Es(x)),

for x in K and 0≤s≤t, where K is a convex cone in a Banach space, and {Ft: t≥0} is a given family of set-valued functions.

There are five chapters in the thesis. In the first one some necessary definitions and known results published in works by K. Nikodem, A. Smajdor and M. Piszczek are given.

Basic properties of set-valued sine families and their examples are given in the second chapter. Continuity of such a family is proved in two cases: when values of its elements contain zero and when it is regular. It is also showed, that the family with which a sine family is associated must be a cosine family, and under some additional assumption it is also continuous.

One of the most important results in the thesis is a theorem about integral representation of sine families included in chapter three. It is also showed, that a family of Riemann type integrals of set-valued functions from a cosine family is a sine family.

In the fourth chapter some multivalued second order differential problem is investigated. It is proved that a sine and a cosine family are its solution in two particular cases.

The last part contains a condition, under which functions given by some series form a regular cosine family and the proof of the fact, that under some assumptions a regular cosine family contains functions given by this series. At the end the series representation of a sine family is given.