Refleksywność i tranzytywność podprzestrzeni operatorów Toeplitza na przestrzeni Hardy’ego dla obszarów na płaszczyźnie

Abstract

Celem pracy było badanie dychotomicznych zachowań - z punktu widzenia refleksywności i tranzytywności - algebr i podprzestrzeni operatorów Toeplitza. Uzyskano dychotomię między refleksywnością i tranzytywnością dla *-słabo domkniętych podprzestrzeni operatorów Toeplitza określonych na przestrzeni Hardy'ego dla górnej półpłaszczyzny oraz dla jednospójnych obszarów Jordana. Jednocześnie podano precyzyjną charakteryzację, która z alternatyw zachodzi. Badano również operatory Toeplitza na przestrzeni Hardy'ego dla wielospójnych obszarów Jordana. W szczególności udowodniono, że algebra analitycznych operatorów Toeplitza na przetrzeni Hardy'ego na wielospójnym obszarze Jordana jest refleksywna, natomiast podprzestrzeń wszystkich operatorów Toeplitza jest tranzytywna. W pracy podano również szereg konkretnych przykładów refleksywnych i tranzytywnych podprzestrzeni operatorów Toeplitza.

The aim of this work is to investigate the dichotomic behavior of algebras and subspaces of Toeplitz operators from the reflexivity and transitivity point of view. The dichotomic behavior (either reflexive or transitive) of weak-* closed subspaces of Toeplitz operators on the Hardy space over the upper half-plane and simply connected Jordan regions has been proven. The precise condition verifying dichotomy between reflexivity and transitivity was given simultaneously. The Toeplitz operators on the Hardy space over multiply connected Jordan regions was considered also. In particular, it has been proven that the algebra of analytic Toeplitz operators on the Hardy space over multiply connected Jordan region is reflexive and the whole space of Toeplitz operators is transitive. In the work several examples of reflexive and transitive subspaces consisting of Toeplitz operators are given.