Approximate roots of quasi-ordinary polynomials

Abstract

The aim of this dissertation is to study approximate roots of quasi-ordinary Weierstrass polynomials. This topic is motivated by the research of Abhyankar-Moh (1970s), González Pérez (2008) and Brzostowski (2011). The dissertation is divided into ve chapters. In the rst chapter we introduce the basic notations and de nitions. We also give some examples to illustrate introduced objects. In Chapter 2 we outline the motivation of our research of approximate roots of quasiordinary polynomials. We present results obtained by Abhyankar, Moh, González Pérez, Brzostowski and also their applications. In the third chapter we introduce generalized Puiseux series and we present their selected properties. We consider such power series, since in the next part of the dissertation we reduce problems formulated for quasi-ordinary Weierstrass polynomials to problems concerning polynomials over the eld of generalized Puiseux series, where it is easier to solve them. In Chapter 4 we study deformations of Weierstrass polynomials over the eld of generalized Puiseux series and deformations of Weierstrass polynomials over the ring of formal power series. In the last chapter we use the results obtained in the previous chapters to prove the main results of the dissertation. The dissertation ends with the list of cited articles and books.

Celem rozprawy jest zbadanie pierwiastków aproksymatywnych wielomianów quasizwyczajnych. Tematyka ta jest związana z badaniami Abhyankara-Moha (lata 70.), Gonzáleza Péreza (2008) oraz Brzostowskiego

(2011). Rozprawa jest podzielona na pięć rozdziałów. W pierwszym rozdziale wprowadzamy podstawowe oznaczenia oraz

definicje. Podajemy również przykłady ilustrujące wprowadzone pojęcia. W rozdziale drugim przedstawiamy motywacje naszych badań dotyczących pierwiastków aproksymatywnych wielomianów quasi-zwyczajnych. Przedstawiamy rezultaty Abhyankara, Moha, Gonzáleza Péreza, Brzostowskiego oraz ich zastosowania. W rozdziale trzecim wprowadzamy uogólnione szeregi Puiseux i przedstawiamy ich wybrane własności. Rozważamy takie szeregi, ponieważ w dalszej części rozprawy redukujemy problemy sformułowane dla wielomianów quasi-zwyczajnych do problemów dotyczących wielomianów o współczynnikach w ciele uogólnionych szeregów Puiseux, gdzie są one prostsze do rozwiązania. W rozdziale czwartym badamy deformacje wielomianów Weierstrassa nad ciałem uogólnionych szeregów Puiseux jednej zmiennej oraz deformacje wielomianów Weierstrassa nad pierścieniem szeregów formalnych wielu zmiennych. W ostatnim rozdziale wykorzystujemy rezultaty otrzymane w poprzednich rozdziałach do udowodnienia głównych wyników rozprawy. Rozprawę kończy wykaz cytowanych artykułów oraz książek.