Zastosowania równań i nierówności funkcyjnych w teorii użyteczności

Abstract

Pojęcie użyteczności, jako pojęcie ekonomiczne, powstało na przełomie XVIII i XIX wieku. W opublikowanej w 1944 r. monografii, J. von Neumann i O. Morgenstern stworzyli aksjomatyczne podstawy teorii użyteczności. Konsekwencją zaproponowanego przez nich układ aksjomatów dotyczących relacji preferencji było istnienie funkcji użyteczności reprezentujących rozważaną relację. Przez kolejne kilkadziesiąt lat teoria użyteczności była przedmiotem interdyscyplinarnych. Głównym zagadnieniem rozważanym w niniejszej rozprawie jest oparta na funkcji użyteczności wycena kontraktów ubezpieczeniowych w warunkach niepewności. W pracy scharakteryzowano wiele ważnych własności składek ubezpieczeniowych takich jak porównywalność, równość, dodatnia jednorodność i translacyjność. W badaniach tych kluczową rolę odgrywają wyniki z zakresu równań i nierówności funkcyjnych oraz średnich uwikłanych. Pierwszy rozdział przedstawia aksjomatyczne podstawy teorii użyteczności oczekiwanej oraz teorii skumulowanej perspektywy. W rozdziale drugim zaprezentowano własności pojemności, całki Choqueta i uogólnionej całki Choqueta. Rozdział trzeci przedstawia wybrane wyniki z zakresu równań funkcyjnych, funkcji wypukłych i średnich uwikłanych. W rozdziale czwartym zbadano własności równoważnika pewności i składki wartości średniej. Rozdział piąty przedstawia własności składki zerowej użyteczności, zaś ostatni rozdział prezentuje wyniki dotyczące składki szwajcarskiej. Do charakteryzacji własności składki zerowej użyteczności i składki szwajcarskiej wykorzystano średnie uwikłane.

The concept of utility, as an economic concept, was developed at the turn of the 18th and 19th centuries. In a monograph published in 1944, J. von Neumann and O. Morgenstern proposed the axiomatic foundations of the utility theory. The consequence of the proposed set of axioms concerning the relation of preferences was the existence of utility functions representing that relation. For the next several decades, utility theory was a subject of interdisciplinary research. The main issue considered in this dissertation is valuation of insurance contracts based on the utility function under uncertainty. The paper describes many important properties of insurance premiums, such as comparability, equality, positive homogeneity and translativity. The results of functional equations and inequalities as well as quasi-deviation means play a key role in these studies. The first chapter presents the axiomatic foundations of the expected utility theory and the cumulative perspective theory. The second chapter presents the properties of capacity, Choquet integral and generalized Choquet integral. The third chapter presents selected results in the field of functional equations, convex functions and quasi- deviation means. The fourth chapter explores the properties of the certainty equivalent and the mean-value premium principle. The fifth chapter presents the properties of the zero utility premium principle, and the last chapter presents the results on the Swiss premium principle. Quasi-deviation means were used to characterize the properties of the zero utility premium principle and the Swiss premium principle.