Struktury liczbowe w pismach matematycznych Bernarda Bolzano

Abstract

Analizujemy dwie prace Bernarda Bolzano o liczbach rzeczywistych: Rein analytischer Beweis (Bolzano 1817) i Reine Zahlenlehre (Bolzano 1962/1976). W pierwszej liczby rzeczywiste ujęte są w sposób aksjomatyczny, w drugiej, skonstruowane. W obu pracach dowodzona jest zasada supremum i zupełność w sensie Cauchy'ego, przy czym, jak pokazujemy, dowody w (Bolzano 1817) są niepoprawne. W (Bolzano 1817) aksjomaty ciała uporządkowanego są stosowane implicite, gdy w dowodach twierdzeń przekształcane są formuły. Aksjomat ciągłości jest sformułowany wprost w postaci zasady supremum i zupełności w sensie Cauchy'ego w koniunkcji z aksjomatem Archimedesa. Na tej podstawie wnosimy, że w rozprawie znajduje się aksjomatyczne ujęcie liczb rzeczywistych. Dowód zasady supremum w (Bolzano 1817) wykorzystuje zupełność w sensie Cauchy'ego, którą - jak pokazujemy Bolzano próbuje wyprowadzić z aksjomatów ciała uporządkowanego. Praca (Bolzano 1962/1976) to teoria tzw. liczb mierzalnych, do których należą liczby nieskończenie małe. W rozprawie tej Bolzano posługuje się też liczbami nieskończenie dużymi, definiowanymi jako odwrotności nieskończenie małych. Interpretujemy tę pracę w oparciu o rozszerzenie liczb wymiernych za pomocą ultrafiltru. Zbiór liczb hiperwymiernych {ℚ^*} definiujemy jako {ℚ^ℕ/u}, gdzie {u} jest ultrafiltrem niegłównym na {ℕ}. W zbiorze {ℚ^*} wprowadzamy działania i porządek tak, że powstaje ciało niearchimedesowe. W ciele liczb hiperwymiernych wyróżniamy pierścień liczb ograniczonych {𝕃_Q} oraz ideał nieskończenie małych {Ω_Q}. Liczby rzeczywiste definiujemy jako pierścień ilorazowy {𝕃_Q/Ω_Q}. Pokazujemy, że liczbę mierzalną można interpretować jako element pierścienia {𝕃_Q/Ω_Q}. Pokazujemy, że w przyjętej interpretacji dowody zasady supremum oraz zupełności w sensie Cauchy'ego w (Bolzano 1962/1976) są poprawne.