Różniczkowanie i pewne tożsamości funkcyjne w pierścieniach półpierwszych

Abstract

Rozprawa dotyczy związków pomiędzy własnościami różniczkowań pierścieni półpierwszych i δ-pierwszych a przemiennością tych pierścieni. W pracy można wyróżnić dwa główne wyniki. Pierwszy (Twierdzenie 2.2.8) mówi, że pierścień Liego wszystkich różniczkowań pierścienia półpierwszego jest albo zerowy, albo nie jest nilpotentny. Drugi wynik (Twierdzenie 4.2.5) jest uogólnieniem na klasę pierścieni δ-pierwszych klasycznego twierdzenia Hersteina o przemienności 2-beztorsyjnego pierścienia pierwszego, który dopuszcza niezerowe różniczkowanie mające przemienny zbiór wartości. W pracy podajemy również zupełnie elementarny dowód tego faktu, że pierścień półpierwszy jest przemienny wtedy i tylko wtedy, gdy jest Lie-nilpotentny. Praca zawiera ponadto mocniejszą wersję twierdzenia Hersteina o podpierścieniu generowanym przez zbiór wartości różniczkowania i nowy dowód kryterium przemienności pierścieni δ-pierwszych pochodzącego od Hirano-Tominagi. Przedstawiamy w końcu oryginalne ujęcie podstaw teorii pierścieni δ-pierwszych i δ-półpierwszych (z omówieniem własności elementów δ-nilpotentnych włącznie). Praca jest zilustrowana dość dużą liczbą przykładów.

The thesis deals with relationships between derivations on semiprime and δ-prime rings (possibly without identity) and commutativity of these rings. There are two main results in the thesis. The first one (Theorem 2.2.8) says that the Lie ring of all derivations on a semiprime ring is not nilpotent whenever it is nonzero. The second one (Theorem 4.2.5) generalizes to δ-prime rings the Herstein classical theorem which states that a 2-torsion free prime ring is commutative whenever it admits a nonzero derivation whose range is commutative. Moreover, the thesis brings a fully elementary proof of the result saying that a semiprime ring is commutative if and only if it is Lie-nilpotent, and a more subtle version of the Herstein theorem on the subring generated by the range of a derivation. Finally, a new complete proof of the Hirano-Tominaga commutativity criterion for δ-prime rings is given and an original exposition of a basic theory of δ-prime and δ-semiprime rings (including a discussion of the concept of a δ-nilpotent element) is provided. The thesis contains a lot of illustrative examples.