Algebry wolne w pewnych rozmaitościach fregowskich generowanych przez algebry trzyelementowe

Abstract

Wiadomo, że istnieje skończenie wiele klonów wielomianów określonych na skończonej algebrze generującej kongruencyjnie permutowalną rozmaitość fregowską. Na początku pracy pokazano, że na zbiorze trzyelementowym możemy wyróżnić cztery wielomianowo nierównoważne algebry, które generują kongruencyjnie permutowalną rozmaitość fregowską. Dwie z nich są dobrze znane, to algebra równoważnościowa oraz półkrata Brouwera. Pierwszym celem pracy jest przedstawienie przykładowych algebr dla dwóch pozostałych przypadków. Strukturami tymi są szczególne podredukty trzyelemntowej algebry Heytinga, w których oprócz stałej 1 oraz działania równoważności określone jest dodatkowe działanie zachowujące się na pewnych elementach jak koniunkcja. Głównym celem pracy jest podanie konstrukcji algebr wolnych skończenie generowanych w rozmaitościach generowanych przez wymienione wyżej algebry, a następnie policzenie ich wolnych spektrów. W rozdziale 1. przedstawiono najważniejsze pojęcia i twierdzenia wykorzystywane w pracy. W rozdziale 2. podano definicję algebry R, czyli trzyelementowej algebry równoważnościowej z iloczynem na elementach regularnych. Następnie pokazano jej podstawowe własności, w tym zachowanie komutatora w kracie ConR. W dalszej części opisano jak wygląda „szkielet” dla dowolnej skończonej algebry z rozmaitości V(R) oraz udowodniono twierdzenie o reprezentacji, które pozwala skonstruować algebrę wolną z V(R) o skończonej liczbie generatorów, a także znaleźć wzór na wolne spektrum w tej rozmaitości. W rozdziale 3. przedstawiono definicję algebry D, czyli trzyelementowej algebry równoważnościowej z iloczynem na elementach gęstych. Następnie, analogicznie jak w rozdziale drugim, pokazano własności tej algebry, sposób zachowywania się komutatora, konstrukcję „szkieletu” oraz twierdzenie o reprezentacji, a także udowodniono wzór na wolne spektrum w rozmaitości V(D). W rozdziale 4. opisano algebrę, która również jest określona na zbiorze trzyelementowym i generuje rozmaitość fregowską, ale w jej przypadku rozmaitość przez nią generowana, w przeciwieństwie do wcześniej rozważanych rozmaitości, nie jest kongruencyjnie permutowalna, natomiast jest kongruencyjnie dystrybutywna. Należy ona do rozmaitości algebr Hilberta z supremum. Przedstawiono twierdzenie o reprezentacji dla jej podrozmaitości złożonej z liniowych algebr Hilberta z supremum, a także podano w tym przypadku konstrukcję algebry wolnej. Ponadto, oszacowano wolne spektrum w przypadku liniowych algebr Hilberta z supremum o wysokości 3, przedstawiając również wzór asymptotyczny.

It is known that there are finitely many polynomial clones on a finite algebra which generate congruence permutable Fregean varieties. First, we show that there are four polynomially nonequivalent algebras on a three element set, which generate congruence permutable Fregean varieties. Two of them are well known: an equivalential algebra and a brouwerian semilattice. The first aim of the work is to show examples of the other two cases. These are some specific subreducts of Heyting algebras, in which are the distingu- ished constant 1, the equivalential term and an additional operation, which is conjunction on some elements. The main aim of this paper is to provide the structure of finitely generated free algebras in varieties generated by the above mentioned algebras and calculation of their free spectra. In Section 1 we give the most important definitions and theorems which are used throughout the paper. In Section 2 we introduce the definition of the three element equ- ivalential algebra with conjunction on regular elements (R). Next, we show the most important properties, including the description of the commutator in V(R). Subsequently, we describe the frame for any finite algebra in the Fregean variety and we prove the representation theorem, which allows to construct a free algebra in V(R) with a finite number of generators and also we find the formula for the free spectrum in this variety. In Section 3 we present the definition of the three element equivalential algebra with conjunction on dense elements (D). Next, similarly as in Section 2, we give the main properties, the description of the commutator, the construction of the frame and the representation theorem. We also prove the formula for the free spectrum in V(D). In Section 4 we consider the algebra, which is also specified on the three element set and which generates the Fregean variety. However, in this case, in contrast to previously considered varieties, the variety generated by this algebra is not congruence permutable, but instead it is congruence distributive. This algebra belongs to the variety of Hilbert al- gebras with supremum. We prove the representation theorem and we construct the finitely generated free algebras in subvariety consisting of linear Hilbert algebras with supremum. Moreover, we estimate the free spectrum of linear Hilbert algebras with supremum of he- ight 3 and also show the asymptotic formula.