Line arrangements in algebraic terms

Abstract

The present PhD thesis is devoted to line arrangements in the complex projective plane considered in the context of contemporary algebraic problems. By a line arrangement we understand a finite set of pairwise distinct lines in the plane with the intersection points of those lines. This subject can be considered as one of the most classical in geometry, for instance Pappus theorem tells us that there exists a specific symmetric arrangement of 9 lines and 9 points with peculiar combinatorial and geometrical properties. In the thesis we focus on three modern aspects related to line arrangements, namely the containment problem for symbolic powers of homogeneous ideal associated with singular points of line arrangements, parameter space of Böröczky’s arrangements of lines (these objects are important in the context of extremal combinatorial problems in the plane, for instance the orchard problem), and the freeness of plane curves in Saito’s sense. The main contribution of the thesis can be summed up as follows: 1) We describe the parameter spaces of Böröczky’s arrangements of d ∈ {13, 14, , 16, 18, 24} lines and we show that these arrangement cannot be represented over the rational numbers. 2) We prove that the radical ideals I associated with the triple intersection points of Böröczky’s arrangement of d ∈ {6, ..., 11} do not lead to new examples of non-containment I(3) ᴄ I2, where I(3) is the third symbolic power of I. Moreover, we show that the containment problem is not determined by the weak combinatorics of arrangements. 3) We provide a characterization of all those Böröczky arrangements of d lines which are free in the sense of Saito. In the last chapter, which can be considered as experimental in its nature, we study supersolvable line arrangements and a natural question about the existence of a minimal complement of a given line arrangement to the supersolvability.

Praca doktorska jest poświęcona teorii układów prostych na zespolonej płaszczyźnie rzutowej w kontekście współczesnych problemów algebraicznych. Poprzez układ prostych będziemy rozumieć skończony zbiór parami różnych prostych na płaszczyźnie rzutowej wraz z punktami osobliwymi przecięcia tych prostych. Tematyka ta uznawana jest za jedną z najbardziej klasycznych, dla przykładu warto przywołać twierdzenie Pappusa, które mówi o istnieniu pewnego symetrycznego układu 9 prostych i 9 punktów o szczególnych własnościach kombinatorycznych i geometrycznych. W niniejszej pracy doktorskiej skupiamy się na trzech współczesnych zagadnieniach związanych z układami prostych, tj. na problemie zawierania potęg symbolicznych ideałów jednorodnych stowarzyszonych z punktami osobliwymi układów prostych, na przestrzeniach parametrów układów Böröczky’ego (układy te są bardzo ważne w kontekście ekstremalnych problemów kombinatorycznych, np. z perspektywy problemu sadu), oraz na problemie wolności krzywych płaskich w ujęciu Saito. Główne wyniki pracy doktorskiej możemy podsumować następująco: 1) Opisanie przestrzeni parametrów układów Böröczky’ego dla d ∈ {13, 14, 16, 18, 24} prostych oraz wykazanie, że układy te nie posiadają realizacji nad liczbami wymiernymi. 2) Udowodnienie, ze ideały radykalne I stowarzyszone z punktami potrójnymi układów Böröczky’ego dla d ∈ {6, ..., 11} nie prowadzą do przykładu niezawierania I^(3) ᴄ I^2, gdzie I(3) oznacza trzecią potęgę symboliczną. Co więcej, pokazujemy, że problem zawierania nie jest zdeterminowany przez słabą kombinatorykę układów prostych. 3) Charakteryzujemy te wszystkie układy Böröczky’ego d prostych, które są wolnymi krzywymi w sensie Saito. Ostatni rozdział pracy, o charakterze eksperymentalnym, dotyczy pojęcia układów superrozwiązalnych oraz kombinatorycznego zagadnienia minimalnego uzupełniania zadanych układów prostych do układów superrozwiązalnych.