Rozumowania w matematyce elementarnej : hipotezy, twierdzenia, dowody

Abstract

Niniejsza praca zawiera materiały do wykorzystania na ćwiczeniach z dydaktyki matematyki. Nie obejmują one całego zakresu zagadnień przewidzianych do opracowania w ramach tego przedmiotu. Mają za zadanie pomóc studentom w przygotowaniu się do realizacji w przyszłej pracy zawodowej ogólnych celów kształcenia matematycznego określonych Podstawą programową nauczania matematyki (z 23 grudnia 2008 r.), w szczególności chodzi o cele o numerach 1 i 5 (w odniesieniu do III i IV etapu edukacji). Cel 1 wspomnianej Podstawy to: Wykorzystanie i tworzenie informacji. W kontekście naszych materiałów interpretujemy ten punkt jako tworzenie (przez studenta - przyszłego nauczyciela matematyki, a także ucznia) nowych elementów wiedzy o liczbach i figurach geometrycznych z zakresu matematyki elementarnej. Mamy tu na myśli dochodzenie do nowych twierdzeń poprzez tworzenie hipotez, ich weryfikację empiryczną i dedukcyjną. Te nowe elementy wiedzy powstawałyby w wyniku aktywności matematycznej prowadzącej do rozwiązania sugerowanych przez nas zadań. Z punktem 5 Podstawy programowej: Rozumowanie i argumentacja wiążemy takie aktywności matematyczne (studenta - przyszłego nauczyciela matematyki, a także ucznia), jak: - uzasadnianie sądów na temat poprawności twierdzeń lub rozumowań; - tworzenie hipotez - w wyniku dostrzegania analogii matematycznych - i ich weryfikację; - uogólnianie odkrytych regularności; - dowodzenie sformułowanych twierdzeń. Przedstawiane przez nas zadania są nietypowe w porównaniu z zadaniami rozwiązywanymi zwyczajowo na lekcji matematyki. Jest to zabieg celowy, ukierunkowany na realizację tych celów nauczania matematyki, które w praktyce szkolnej są zaniedbywane. Na ten deficyt wskazują obserwacje procesu nauczania, wyniki badań dydaktycznych oraz rezultaty osiągane przez uczniów na egzaminach zewnętrznych. Nasza propozycja opracowania większości sytuacji matematycznych przedstawionych w tym skrypcie obejmuje dwa etapy. Pierwszy etap ma na celu rozwijanie u studentów umiejętności rozumowania w zakresie matematyki elementarnej. Drugi etap - o charakterze dydaktycznym - ma za zadanie wzbudzić refleksje studenta na temat wykorzystania rozwiązanych przez niego zadań matematycznych w szkole. W niektórych przypadkach chodzi o reakcję nauczyciela na błąd ucznia, w innych o opracowanie pomysłu dydaktycznego na przeprowadzenie lekcji (fragmentu lekcji) uwzględniającej rozwiązywanie przez uczniów nietypowych zadań. W zamierzeniu autorek skrypt może stanowić źródło zadań i problemów do pracy indywidualnej studentów (np. wykonywanej w domu), stanowiącej formę przygotowania się do ćwiczeń z dydaktyki matematyki. Te ćwiczenia mogłyby być przeprowadzane metodą dyskusji na temat materiału, z którym student zapoznał się wcześniej. Realizowano by w ten sposób ideę rozwijania umiejętności komunikowania się poprzez wyrażanie przez studentów explicite własnych sądów, argumentacji, poglądów odnoszących się do rozumowań w matematyce. Na niewystarczający stopień rozwijania tego typu umiejętności w szkole wyższej zwraca się uwagę w dokumentach ministerialnych dotyczących kształcenia akademickiego. Rozwiązywanie proponowanych zadań kierowanych do studentów ma różne cele szczegółowe: - służy pogłębianiu umiejętności rozwiązywania nietypowych, w tym problemowych zadań z matematyki elementarnej, z którymi wielu absolwentów szkoły ponadgimnazjalnej mogło spotykać się nieczęsto; - rozwija rozumienie metody matematycznej (wyrażające się m.in. przez odróżnianie implikacji od równoważności, umiejętne stosowanie twierdzeń, rozróżnianie metody redukcyjnej i dedukcyjnej w dowodzeniu, uświadomienie sobie logiki rozumowania „nie wprost”, uzasadnianie tego samego twierdzenia na różne sposoby oraz wypowiadanie twierdzeń w różnej postaci itp.); - rozwija umiejętność analizowania rozumowania (wskazywania podstawy merytorycznej poszczególnych jego „kroków", oceniania ich poprawności i identyfikowania błędów w argumentacji - o ile takie wystąpiły); - skłania do refleksji nad istotą błędów w rozumowaniach uczniów; - zachęca do poszukiwania hipotetycznych przyczyn dostrzeżonych błędów oraz różnych sposobów reakcji na błąd ucznia.