Przybliżone rozwiązania równania ortogonalności

Abstract

W rozprawie zajmowano się stabilnością dwóch równań funkcyjnych: równania ortogonalności: T(x) o T(y) = x o y (1) oraz jego uogólnienia (równania Wignera): |T(x) o T(y)| = |x o y| (2). Rozważano, na dwa sposoby, klasy przybliżonych rozwiązań równań (1) i (2). Metoda pierwsza nawiązuje do prac Hyersa i Ulama; klasy przybliżonych rozwiązań zadane są nierówności funkcyjnymi |T(x) o T(y) - x o y| ≤ ɛ (3) oraz ||T(x) o T(y)| - |x o y||≤ ɛ (4). Badania prowadzone odmiennymi metodami dla rzeczywistej przestrzeni Hilberta oraz dla przestrzeni Euklidesa, prowadzą do twierdzeń o stabilności - w pierwszym przypadku - oraz nadstabilności - w drugim - rozważanych równań (stabilność w sensie Hyersa-Ulama). Rozważa się również klasy tzw. odwzorowań quasi-ortogonalnych zadanych przez nierówności: |T(x) O T(y) - x o y| ≤ ɛ min {|T(x) o T(y)| , |x o y|} (5) oraz IIT(x) o T(y)| - |x o y||≤ ɛ min { |T(x) o T(y)| , |x o y|} (6) Udowodniono, dla przestrzeni Euklidesa, tzw. względną stabilność równań (1) i (2) względem klasy rozwiązań przybliżonych zdefiniowanych przez odpowiednio, (5) i (6).