Wybrane zagadnienia teorii układów krzywych płaskich

Abstract

Teoria układów hiperpowierzchni to jeden z najbardziej klasycznych obszarów badań leżący na pograniczu geometrii algebraicznej, kombinatoryki, topologii algebraicznej, geometrii różniczkowej, etc. Ze względu na wysoką interdyscyplinarność cieszy się niesłabnącym zainteresowaniem wśród badaczy na całym świecie. Bardzo ciężko przywołać najważniejsze zastosowania tej teorii bądź wskazać jedno najważniejsze osiągnięcie, bowiem każdy wybór miałby wspólną cechę niesprawiedliwości w osądzie. Z perspektywy edukacji szkolnej najbardziej podstawowym przykładem układów hiperpowierzchni są proste na płaszczyźnie afinicznej. W szkole podstawowej wielokrotnie badamy, czy dane dwie proste są równoległe, prostopadłe, wyznaczamy punkt przecięcia, tworzymy rodziny prostych równoległych. W dalszej edukacji dowiadujemy się o innych klasycznych układach prostych, choć nie nazywamy ich w taki sposób, np. o twierdzeniu Menelaosa o współliniowości czy też o twierdzeniu Pappusa. Z perspektywy badacza dość dużym zaskoczeniem okazuje się płynne przejście ze szkolnych twierdzeń i faktów dotyczących układów prostych do współczesnych problemów badawczych. W tym celu należy przytoczyć hipotezę o liczbie prostych zwyczajnych wyznaczonych przez układ punktów na rzeczywistej płaszczyźnie afinicznej. Niniejszym przedstawiam zarys zawartości monografii, jak również jej strukturę. Drugi rozdział jest poświęcony elementarnemu wprowadzeniu do centralnych układów hiperpłaszczyzn, ze szczególnym nastawieniem na rzutowe układy hiperpłaszczyzn. Wprowadzamy podstawowe definicje oraz twierdzenia, a następnie prezentujemy podstawowe klasy układów, mianowicie te pochodzące od grafów oraz od grup odbić. Rozdział ten ma charakter informacyjny i ma za zadanie szybko wprowadzić czytelnika w tematykę. Trzeci rozdział poświęcony jest rzutowym układom prostych. Centralnym punktem rozważań są nierówności typu Hirzebrucha oraz techniki algebraicznokombinatoryczne z nimi związane. Celem autora było napisać tę część w sposób jak najbardziej przystępny dla czytelnika, jednak głębsza lektura wymaga znajomości podstaw geometrii algebraicznej oraz podstawowych własności teorii nakryć w ujęciu topologicznym. Centralnym punktem tego rozdziału jest przedstawienie i omówienie jednego z największych wyników w teorii układów prostych na płaszczyźnie zespolonej, tj. nierówności Hirzebrucha. W ostatniej części tego rozdziału skupiamy się na nierówności typu Hirzebrucha, która została udowodniona na podstawie rezultatów A. Langera. W szczególności, aby podkreślić znaczenie tego wyniku, przedstawiamy zastosowania tej nierówności w kontekście ekstremalnych problemów układów punktów i prostych na rzeczywistej/zespolonej płaszczyźnie rzutowej. Rozdział czwarty jest poświęcony układom płaskich krzywych w zespolonej płaszczyźnie rzutowej. W szczególności przedstawiamy nierówność typu Hirzebrucha dla tzw. d-układów krzywych oraz podajemy charakteryzację układów nierozkładalnych stożkowych, które dopuszczają proste i styczne punkty podwójne przecięcia. Podajemy ponadto, dość szczegółowo, konstrukcję ciekawego przykładu, zupełnie niedawno skonstruowanego, układu prostych i nierozkładalnych stożkowych, który w literaturze jest nazywany układem chilijskim. Rozdział piąty jest poświęcony liczbom charakterystycznym układów prostych (według nomenklatury wprowadzonej przez Hirzebrucha) oraz nachyleniom Cherna d-układów krzywych. Całość jest zakończona analizą ciekawych przykładów. Rozdział szósty w całości jest poświęcony krzywym wolnym i niemal wolnym. Podajemy homologiczną charakteryzację tych pojęć oraz konstruujemy przykłady układów wolnych i niemal wolnych. W celu ułatwienia prezentacji wspominanych kryteriów przypominany podstawowe pojęcia i wyniki z algebry homologicznej, które są poświęcone rezolwentom wolnym modułów/algebr. Rozdział siódmy, ostatni w niniejszej monografii, jest poświęcony ciekawym zastosowaniom konfiguracji punktów na płaszczyźnie zespolonej. Podajemy, dość skrótowo, trzy najciekawsze, według bardzo subiektywnego poglądu autora, zastosowania w kontekście algebry przemiennej i geometrii, tj. wprowadzenie do teorii indeksów Harbourne’a, teorii nieoczekiwanych krzywych oraz problemu zawierania dotyczącego potęg symbolicznych ideałów jednorodnych.