Matematyczne uogólnianie : możliwości uczniów i praktyka nauczania

Abstract

Ze względu na empiryczny charakter pracy część teoretyczną ograniczam do rozdziału I, w którym analizuję pojęcie uogólniania głównie z punktu widzenia dydaktyki matematyki, w powiązaniu z psychologią i filozofią matematyki. Zasadnicza część pracy (tworząca trzy rozdziały) to opis przeprowadzonych badań i ich analiza. Badania obejmują trzy etapy, w każdym z nich zastosowałam inne metody i narzędzia badawcze. W rozdziale II przedstawiam wyniki badań wstępnych, nazywanych w pracy zamiennie badaniami pilotażowymi bądź testowymi. W badaniach tych wykorzystuję metodę analizy wytworów pracy uczniów. Analizie poddaję rozwiązania zadań specjalnie skonstruowanych testów. Na przykład w jednym z nich uczeń miał obliczyć obwody i pola figur w kształcie krzyży. Tekst każdego z testów sterował pracą ucznia, zaprojektowany był z uwzględnieniem metody czynnościowej i dotyczył zadań o charakterze geometryczno- -arytmetycznym. Po wykonaniu zadania dla małych liczb, dla których rozwiązanie można odczytać z rysunku, należało przejść do sytuacji wyobrażeniowej dla większych liczb. To miało przygotować do rozwiązania zadania w sytuacji pomyślanej, tzn. dla liczb wyrażonych ogólnie symbolem literowym. Zadania testów nie były skomplikowane, celem nie było bowiem zbadanie, czy uczeń je rozwiąże, lecz jak to zrobi. Badaniom poddałam 360 uczniów polskich i 397 uczniów czeskich w wieku 10-14 lat; zgodnie z piagetowską teorią rozwoju uczniowie w tym właśnie wieku powinni znajdować się w stadium operacji formalnych. Kolejny rozdział (III) to relacja z badań właściwych, dla których stosuję także określenia: badania zasadnicze lub indywidualne. Opisuję w nim obserwacje indywidualne pracy 34 uczniów w wieku 13-14 lat nad rozwiązywaniem zadań wymagających uogólniania typu indukcyjnego i zastosowania symbolu literowego. Narzędzia badawcze stanowiły zadania umieszczone na kartach. W jednym z nich, mającym kluczowe znaczenie w badaniach, chodziło o to, by - znając liczbę pierścieni wyznaczonych przez 2 i 3 różne koła o tym samym środku - znaleźć i zapisać ogólnie liczbę pierścieni dla t różnych kół o tym samym środku. Trzeci etap, opisany w rozdziale IV, to badania porównawcze 14 pozycji podręcznikowych do nauczania matematyki w polskiej szkole, obowiązujących do roku 1999. Wybierając podręczniki, kierowałam się chęcią znalezienia przyczyn stwierdzonego w trakcie badań wstępnych niskiego poziomu umiejętności uczniów w zakresie aktywności uogólniania. Analizie poddałam więc takie podręczniki do matematyki dla klas IV—VIII, z których korzystali uczniowie biorący udział w badaniach testowych. Badania te prowadziłam w latach 1994—1998 - ostatnią klasą szkoły podstawowej była wówczas klasa ósma. Rozdział III kończy synteza wyników badań. Badania te dostarczają pewnych informacji dotyczących procesu uogólniania, pokazując drogi, jakie pokonują uczniowie zmierzający w kierunku uogólnienia typu indukcyjnego i wyrażenia go za pomocą symbolu literowego. Pozwalają jednocześnie określić możliwości i trudności badanych w zakresie tych aktywności.